domingo, 7 de noviembre de 2010

SOLUCION FINAL

v=πr^2h
P=(2π〖r)〗^2+2h
P=4πr^2+2h
P=(P-4πr)/2
A=2πr
A=2πr((P-4πr)/2)
A=(2πrP-8π^2 r^2)/2
A=πrP-4π^2 r^2
D"A=πP-8π^2 r
D"=-8π^2 máximo en r=p/8π
R=πP/(8π^2 )
R=P/8π
A=πP*P-4π^2 (〖P/8)〗^2
A=(〖P/8)〗^2-4π^2 (P/(64π^2 ) )^2
A=(〖P/8)〗^2-(〖P/16)〗^2
A=π〖(P)〗^2 [1/8-1/16]
A=(〖P/16)〗^2
2/16=1/16
A=((〖P)〗^2)/16

Comprobación

P=4πr+2h⟶h= (P-4πr)/2
A=(〖(P〗^2))/16
R=P/8π⟶2= P/8π
A=〖(16π)〗^2/16= (256 π^2)/16
A=16π^2
16π=P→P=16π
h=16π-8π
h=〖(8π)〗^2/2→h=4π

Optimizacion 2

Acercamiento al problema

Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

Optimizacion 1

la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

$\begin{matrix} \max(\min) f(x) \\ x \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \end{matrix}$

Ejemplos

1.

El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.

El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.

Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico

c

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función $f$ es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a $c$ , y $f'(c) = 0, f (c)$ debe ser un mínimo relativo de $f$ . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a $c$ y $f'(c) = 0, f (c)$ debe ser un máximo relativo de $f$ .

Puntos máximos y mínimos

"Sea

c

un punto crítico de una función

f

que es continua en un intervalo abierto

I

que contiene a

c

. Si

f

es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en

c

, entonces

f(c)

puede clasificarse como sigue."
1. Si

f'(x)

cambia de negativa a positiva en

c

, entonces

f

tiene un mínimo relativo en

(c, f (c))

.
2. Si

f'(x)

cambia de positiva a negativa en

c

, entonces

f

tiene un máximo relativo en

(c, f (c))

.
3. Si

f'(x)

es positiva en ambos lados de

c

o negativa en ambos lados de c, entonces

f (c)

no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
Punto de inflexión
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

Se halla la primera derivada de
Se halla la segunda derivada de
Se halla la tercera derivada de
Se iguala la segunda derivada a 0:
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :

Si , se tiene un punto de inflexión en .
Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

Punto crítico

La ecuación $f (x) = x 4 + 2 x$ no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad. Sin embargo en $x 0 = 0$ la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en $x 0 = 0$ es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que $f$ tampoco presenta un extremo en $x 0$ .

En las matemáticas un punto crítico es un lugar donde una función tiene el gradiente idéntico a cero, pero en las ciencias físicas un punto crítico es aquel límite para el cual el volumen de un líquido es igual al de una masa igual de vapor o, dicho de otro modo, en el cual las densidades del líquido y del vapor son iguales. Si se miden las densidades del líquido y del vapor en función de la temperatura y se representan los resultados, puede determinarse la temperatura crítica a partir del punto de intersección de ambas curvas. Temperatura y presión por encima de la cual no se puede condensar un gas.

Condiciones matemáticas del punto crítico

En el punto crítico se verifica:

Siendo

P

la presión,

v

el volumen molar,

T

la temperatura y

T c

la temperatura crítica del sistema considerado.

Derivada de cadena

En cálculo, de la derivada de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita dex.

Por ejemplo:

X2-4=0 define ay como una función implícita de x. Es claro que por medio

de esta ecuaciónx se define igualmente como función implícita dey.

Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la

ecuación término a término, considerandoy como función dex, y de la

ecuación resultante despejar dx, dy, o lo que es lo mismo despejar y ’

Derivada de funciones constantes

En la siguiente escena se muestra la gráfica de la función f (x) = k, donde el parámetro k es modificable en pantalla. De nuevo, f (x) se grafica en color azul y g_k(x) en color rojo.

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de una raíz

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Ejemplos

Malla

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

GRADO: ONCE

PERIODO: PRIMERO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Desigualdades e Inecuaciones.

Axiomas de orden en R.

Intervalos.

Propiedades de las desigualdades

Problemas.

VALOR ABSOLUTO.

Definición.

Propiedades.

Ejercicios

FUNCIONES.

Definición.

Funciones básicas

Dominio, Rango

Problemas de la vida.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Resolver inecuaciones por el método del cementerio

Y el método analítico.

Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.

Aplicar la definición de función a diferentes relaciones.

Resolver problemas que involucran funciones.

Resuelve inecuaciones por el método del cementerio

Y el método analítico.

Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.

Aplica la definición de función a diferentes

Resuelve problemas que involucran funciones.

1. La solución de inecuaciones por el método del cementerio

Y el método analítico.

2. La solución de ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.

3. La aplicación de la definición de función a diferentes

relaciones

4. La solución a problemas que involucran funciones.

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

Semana 4

Semana 5

Semana 6

Semana 8

GRADO: ONCE

PERIODO: SEGUNDO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Transformación de funciones.

Desplazamientos

Verticales.

Desplazamiento horizontal.

Reflexión.

Estiramiento y acortamiento vertical.

Acortamiento y alargamiento horizontal.

Función par e impar.

Dominio, Rango.

Interceptos.

Función uno a uno

Y sobre.

Función Inyectiva.

Función Inversa.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.

Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.

Identificar, clasificar una función en par o impar.

Identificar si una función tiene inversa y calcularla.

Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.

Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.

Identifica, clasifica una función en par o impar.

Identifica si una función tiene inversa y la calcula

1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales.

2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales

3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos.

4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene

Inversa.

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

Semana 4

Semana 5

Semana 6

Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS

Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO: ONCE

PERIODO: TERCERO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

LIMITES.

Definición, ejemplos, ejercicios

Continuidad,

Teorema del valor intermedio.

DERIVADA.

Recta tangente y normal a una curva.

Velocidad instantánea.

Definición de Derivada.

Reglas de derivación.

Regla de la cadena

Derivada implícita.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito.

Eliminar indeterminaciones

de la forma 0/0.

Determinar la continuidad de una función.

Calcular la derivada de funciones.

Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito.

Elimina indeterminaciones

de la forma 0/0.

Determina la continuidad de una función.

Calcula la derivada de funciones.

1. El cálculo de límites cuando la variable tiende a un valor finito.

2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0.

3. La determinación de la continuidad o no de una función.

4. El calcular la derivada de una función real.

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

Semana 4

Semana 5

Semana 6

Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS

GRADO: ONCE

PERIODO: CUARTO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

APLICACIONES

DE LA DERIVADA.

Máximos y mínimos relativos y absolutos.

Números críticos.

Teorema del valor medio y el valor extremo.

Criterios de la primera y segunda derivada

Concavidad.

Problemas de OPTIMIZACIÖN.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.

Obtener valores críticos de una función.

Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Determinar concavidad.

Resolver problemas de Optimización

Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.

Obtiene valores críticos de una función.

Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Determina concavidad.

Resuelve problemas de Optimización

1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.

2. Los valores críticos de una función.

3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La

Determinación de la concavidad.

4. La solución de problemas de Optimización

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

Semana 4

Semana 5

Semana 6

Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS

conclusiones

- interesante la malla porque nos da a conocer los temas que veremos en cada periodo, la problematica y los objetivos.

-la importancia de las matematicas en la vida cotidiana.

-los objetivos buscan aclarar las dudas de los estudiantes, en medio del periodo que avanza.